*是一种比较常见的数学问题,通常被称为“最大*问题”。它的问题是寻找一个尽可能长的序列,其中任何两个相邻的数字都是不同的二次剩余模某个正整数的结果。
举个例子,我们可以考虑筛选所有小于7的正整数的平方剩余。
-1是平方剩余,因为1*1=1(mod7)
-2不是平方剩余,因为没有一个整数x满足x*x=2(mod7)
-3是平方剩余,因为2*2=4(mod7)
-4不是平方剩余,因为没有一个整数x满足x*x=4(mod7)
-5是平方剩余,因为3*3=2(mod7)
-6不是平方剩余,因为没有一个整数x满足x*x=6(mod7)
根据这些结果,我们可以得到一个最大*序列,例如{1,3,5}。这个序列的长度为3,因为没有更长的序列符合定义。
那么,最大的*是多少呢?在一般情况下,很难直接给出答案。事实上,最大*序列的长度不能无限增加,因为每个平方剩余模n的个数都不超过(n+1)/2。如果我们已经选择了k个这样的数字,那么接下来最多只能再选择k或者k-1个新的数字,因为它们必须与前面的数字不同。
根据这个结论,我们可以看到最大*序列的长度必然是有限的。对于给定的某个具体的数n,我们仍然需要找到最大*序列的长度。这个问题比较困难,尚未找到确定性算法。现有的算法通常是基于启发式搜索或者随机化算法的。
例如,一个简单的启发式算法是从最小的平方剩余开始,依次加入新的数字,并对已有的序列进行扩展。通过合理选择扩展方法,可以快速找到相对较长的序列。但是,这个算法不能保证找到最长的序列。
另一个有趣的方法是使用随机化算法。我们可以随机选择一些数字加入序列,并利用一些启发式规则来确定后续的选择。重复这个过程多次,最终得到多个可能的序列,并在其中选择最长的。这种方法可以一定程度上避免陷入局部最优解的情况,但也不能保证找到最长的序列。
总之,最大*问题是一个比较复杂的数学问题,在实际应用中也不太常见。然而,这个问题本身也具有一定的理论意义,而且相关的研究也为我们提供了一些有趣的算法思路。